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自己相似性

 昨日の続きです。 続きじゃなけど、続きです。
昨日のペントミノ素片の話の中で、大きな(3倍サイズの) 「T」 型のピースは基本サイズの9個のピースで構成されていました。 他の大きなピースについても同様です。 とりあえず 『(集団として)自己相似的』 と言えますね。

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 面積が9倍ですから、12個の基本ピース総てが登場しないのは致し方ありません。 この例では、「9個が別種類 = 同じ基本ピースを2度使わない」 という縛りは付けてあります。
 12個の大きいピースの集団を作り上げたとき、(9X12の基本ピースの集合ですが) 各々の基本ピースが9回ずつ登場するセットが出来るかどうか? は一つの命題ですが、<私は>確かめていません。 それが完成したら、『(集団として)完全に・自己相似的』 と言えるのかも知れません。

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 2倍サイズのピースはできるのか? という命題は、まだ確かめていませんが、多くの基本ピースが大元の正方形素片で3倍幅を持っているので登場機会が乏しく、役者の数が限られて、面白味はないでしょう。

 4倍サイズに関しては、16個の基本ピースの集合で構成されるので、「12種類+追加の4種類」 で作ることは問題なく可能だと推測されます。 4倍サイズ12種のフルセット (192個の基本ピース) が基本ピース総てが16回ずつ登場して完成できることは可能だと推測できます。

 6倍サイズの大型ピースの各々が、12種の基本ピースを3回ずつ登場させて完成できるのは、多分間違いありません。 『完全な・ 自己相似性』 に到達できたと言えます。

 面白味が少ないのは、5倍サイズです。 つまり、どの大ピースでも、「I」型基本ピースだけで、敷き詰められるからです。

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 さて、例えば 「W」 型の大きなピースを基本の 「W」 型だけで埋めつくすことは可能なのでしょうか? 不可能なことは直ぐ分ります。 条件を緩めて、大きいいピースの周辺ラインが完全な直線であることを諦めて、切手のミシン穴みたいに、凹部あるいは凸部が残ることを許したらどうなるでしょう?

 この最後の話題は、「蜂の巣タイル=正六角形」 ということで、明日続きを書きます。

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