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六角タイル

 平面を埋めつくす問題の単純で、それゆえ面白味に欠けるのが四角形タイルあるいはレンガ型(ドミノ型)です。

 自然界の蜂の巣や、蓮の実に学んで、人々は六角形で埋めることを覚えたのかも知れません。 この場合、正六角形は 究極の素子: 「円」 の代替物です。 正八角形では、埋めつくせない小さい正方形の隙間が出来るので、アラビア辺りでは、それをアクセントにしたデザインも考えました。

 今日は正六角形の話です。

Hexagonal_484_2

 平面を埋めることに話を進めます。

Hexagonal_968_4

 基本の正六角形 「7個」 で、「六角形もどき」 が出来上がりました。 ここで注目すべきは、六角形の 「対称軸」 が60度回転したことです。 この 「7個」 を新しい単位 (細胞) にして埋めつくすことが出来るでしょうか? 結論的には、YES で、この増殖は次々と 「上の階層」 に進むことが判ります。

 作業を続けようとして、困ったことが二つ起こります。 マッチ棒が足りない! ことと、机の面積がぁ~!
 さすれば、皆さんの想像力に頼りましょう。

Hexagonal_12

 おお危な!  どうやら、このまま進めば、「7個の正六角形もどき」 を単位として、次の 「更に大きな もどき」 が作れそうです。 また、対称軸は幾らか回転しましたね。

 昨日の記事で、『自己相似性』 と書きましたが、この 「正六角形7個」 の群は自己相似的な構造を作っていると言えるかも知れません。 数学的には面白い命題です。

 人類は、なぜか判らないが、ほとんど大多数が長方形の構造の中に棲みます。 円形の家あるいは部屋は、遊牧民のゲル(包=パオ)のように少数例です。 『正六角形のモチーフをつなぎ合わせた絨毯』 は、その意味では、役立ち難いのかも知れません。

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 更に上位の形を表示するのに、コインを使ってみました。

Hexagonalc2ex

最上位;-

Hexagonalc6ex
 家中のコインをかき集めたが、 この段階で何円でしょう?

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自己相似性

 昨日の続きです。 続きじゃなけど、続きです。
昨日のペントミノ素片の話の中で、大きな(3倍サイズの) 「T」 型のピースは基本サイズの9個のピースで構成されていました。 他の大きなピースについても同様です。 とりあえず 『(集団として)自己相似的』 と言えますね。

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 面積が9倍ですから、12個の基本ピース総てが登場しないのは致し方ありません。 この例では、「9個が別種類 = 同じ基本ピースを2度使わない」 という縛りは付けてあります。
 12個の大きいピースの集団を作り上げたとき、(9X12の基本ピースの集合ですが) 各々の基本ピースが9回ずつ登場するセットが出来るかどうか? は一つの命題ですが、<私は>確かめていません。 それが完成したら、『(集団として)完全に・自己相似的』 と言えるのかも知れません。

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 2倍サイズのピースはできるのか? という命題は、まだ確かめていませんが、多くの基本ピースが大元の正方形素片で3倍幅を持っているので登場機会が乏しく、役者の数が限られて、面白味はないでしょう。

 4倍サイズに関しては、16個の基本ピースの集合で構成されるので、「12種類+追加の4種類」 で作ることは問題なく可能だと推測されます。 4倍サイズ12種のフルセット (192個の基本ピース) が基本ピース総てが16回ずつ登場して完成できることは可能だと推測できます。

 6倍サイズの大型ピースの各々が、12種の基本ピースを3回ずつ登場させて完成できるのは、多分間違いありません。 『完全な・ 自己相似性』 に到達できたと言えます。

 面白味が少ないのは、5倍サイズです。 つまり、どの大ピースでも、「I」型基本ピースだけで、敷き詰められるからです。

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 さて、例えば 「W」 型の大きなピースを基本の 「W」 型だけで埋めつくすことは可能なのでしょうか? 不可能なことは直ぐ分ります。 条件を緩めて、大きいいピースの周辺ラインが完全な直線であることを諦めて、切手のミシン穴みたいに、凹部あるいは凸部が残ることを許したらどうなるでしょう?

 この最後の話題は、「蜂の巣タイル=正六角形」 ということで、明日続きを書きます。

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